2981. Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
. Докажите, что если окружность, проходящая через точки A
, B
и O
, касается прямой BC
, то окружность, проходящая через точки B
, C
и O
, касается прямой CD
.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой, а также обратную теорему.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ACD=\angle BAC=\angle BAO=\angle DBC.
Через точку C
проведём касательную к описанной окружности треугольника BOC
. Пусть она пересекает прямую AD
в точке D_{1}
. Тогда
\angle ACD_{1}=\angle OCD_{1}=\angle OBC=\angle DBC=\angle ACD,
а так как точка O
находится внутри параллелограмма ABCD
, точки D_{1}
и D
лежат в той же полуплоскости относительно прямой BC
, что и точка O
. Значит, касательная CD_{1}
совпадает с прямой CD
. Отсюда следует утверждение задачи.
