3008. Докажите, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.
Указание. Примените формулу: S_{\triangle}=\frac{1}{2}ab\sin\alpha
.
Решение. Пусть a
и b
— стороны треугольника с площадью S
, а a_{1}
и b_{1}
— соответствующие им стороны подобного треугольника с площадью S_{1}
; \alpha
— угол между a
и b
(а значит, и между a_{1}
и b_{1}
).
Если k
— коэффициент подобия, то
a_{1}=ka,~b_{1}=kb.
Следовательно,
S_{1}=\frac{1}{2}a_{1}b_{1}\sin\alpha=\frac{1}{2}ka\cdot kb\sin\alpha=k^{2}\cdot\frac{1}{2}ab\sin\alpha=k^{2}S.