3023. Через точку E
, делящую сторону AB
треугольника ABC
в отношении \frac{m}{n}
, считая от вершины A
, провели прямую, параллельную BC
. В каком отношении находятся площадь отсечённого треугольника и площадь получившейся трапеции?
Ответ. \frac{m^{2}}{n(n+2m)}
.
Указание. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
. Указанная прямая отсекает от него подобный ему треугольник с коэффициентом подобия \frac{m}{m+n}
. Поэтому его площадь равна \frac{m^{2}}{(m+n)^{2}}\cdot S
. Тогда площадь получившейся трапеции равна
S-\frac{m^{2}}{(m+n)^{2}}\cdot S=\frac{n(2m+n)}{(m+n)^{2}}\cdot S.