3031. В параллелограмме соединены середина каждой стороны с концом следующей стороны, отчего получился внутренний параллелограмм. Докажите, что его площадь составляет \frac{1}{5}
площади данного параллелограмма.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
, площадь которого равна S
. Площадь параллелограмма, образованного пересечениями прямых AL
, BM
, CN
и DK
, обозначим через s
.
Через вершины A
и C
проведём прямые, параллельные BM
. Точки пересечения этих прямых с прямыми AL
и CN
являются вершинами параллелограмма ARCQ
(точки C
и R
лежат по одну сторону от прямой BM
).
Аналогично построим параллелограмм с противоположными вершинами B
и D
. Общая часть двух построенных параллелограммов есть внутренний параллелограмм, о котором говорится в условии задачи.
Если X
— точка пересечения прямых AR
и BM
, то треугольник LRC
равен треугольнику LXB
по стороне и двум прилежащим к ней углам. Аналогично для всех таких треугольников, расположенных вне исходного параллелограмма.
Тогда площадь «креста», образованного двумя построенными параллелограммами, равна площади исходного параллелограмма, т. е. S
. В то же время, «крест» состоит из пяти равных параллелограммов, один из которых — параллелограмм, площадь s
которого нужно найти. Следовательно,
s=\frac{1}{5}S.
