3033. Площадь треугольника ABC
равна S
. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC
.
Ответ. \frac{3}{4}S
.
Указание. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Достройте треугольник AMC
до параллелограмма AMCK
и рассмотрите треугольник MCK
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, B_{1}
— середина стороны AC
.
Отложим на продолжении медианы BB_{1}
за точку B_{1}
отрезок B_{1}K
, равный B_{1}M
. Поскольку AMCK
— параллелограмм, то KC=AM
. Поэтому стороны треугольника MCK
равны \frac{2}{3}
сторон треугольника, составленного из медиан треугольника ABC
.
Следовательно, искомый треугольник подобен треугольнику MCK
с коэффициентом \frac{3}{2}
, а его площадь равна \frac{9}{4}
площади треугольника MCK
, т. е.
\frac{9}{4}\cdot2\cdot\frac{1}{6}S=\frac{3}{4}S.
