3066. В треугольнике ABC
угол C
равен 30^{\circ}
, а угол A
— острый. Перпендикулярно стороне BC
проведена прямая, отсекающая от треугольника ABC
треугольник CNM
(точка N
лежит между вершинами B
и C
). Площади треугольников CNM
и ABC
относятся как 3:16
. Отрезок MN
равен половине высоты BH
треугольника ABC
. Найдите отношение AH:HC
.
Ответ. 1:3
.
Указание. Треугольники BHC
и MNC
подобны.
Решение. Заметим, что
\frac{CN}{BC}\cdot\frac{CM}{AC}=\frac{S_{\triangle MNC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{16}
(см. задачу 3007). Треугольник MNC
подобен треугольнику BHC
с коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому
\frac{CN}{CH}=\frac{1}{2},~\frac{CM}{CB}=\frac{1}{2}.
Подставив найденное значение \frac{CM}{CB}
в равенство \frac{CN}{BC}\cdot\frac{CM}{AC}=\frac{3}{16}
, получим, что \frac{CN}{AC}=\frac{3}{8}
.
Разделив это равенство почленно на равенство \frac{CN}{CH}=\frac{1}{2}
, получим, что \frac{CH}{AC}=\frac{3}{4}
. Следовательно, \frac{AH}{HC}=\frac{1}{3}
.