3081. В параллелограмме ABCD
на диагонали AC
взята точка E
, причём расстояние AE
составляет треть AC
, а на стороне AD
взята точка F
, причём расстояние AF
составляет четверть AD
. Найдите площадь параллелограмма ABCD
, если известно, что площадь четырёхугольника ABGE
, где G
— точка пересечения прямой FE
со стороной BC
, равна 8.
Ответ. 24.
Указание. Найдите отношение \frac{CG}{CB}
.
Решение. Из подобия треугольников GEC
и FEA
следует, что
GC=2AF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC.
Поэтому (см. задачу 3007)
S_{\triangle GEC}=\frac{CG}{CB}\cdot\frac{CE}{CA}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}.
Тогда S_{ABGE}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{3}{2}S_{ABGE}=12,~S_{ABCD}=2S_{\triangle ABC}=2\cdot12=24.