3091. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) медианы AD
и EC
пересекаются в точке O
. Отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник AOC
, к радиусу окружности, вписанной в четырёхугольник ODBE
, равно \frac{2}{3}
. Найдите отношение \frac{AC}{BC}
.
Ответ. \frac{20}{17}
.
Указание. Площади треугольника и четырёхугольника равны их полупериметрам, умноженным на радиусы вписанных окружностей. Кроме того, S_{\triangle AOC}=S_{ODBE}
.
Решение. Пусть M
— середина стороны AC
. Обозначим AD=CE=3a
, AC=2c
, AB=BC=2b
. Площади треугольника AOC
и четырёхугольника ODBE
равны, так как каждая из них составляет третью часть площади треугольника ABC
. Полупериметр четырёхугольника ODBE
и треугольника AOC
равны соответственно
OD+DB=a+b,~OC+CM=2a+c.
Поскольку площади четырёхугольника и треугольника равны, то их полупериметры обратно пропорциональны радиусам вписанных в них окружностей, т. е.
\frac{a+b}{2a+c}=\frac{2}{3}.
Отсюда находим, что a=3b-2c
.
По теореме Пифагора
BM^{2}=BC^{2}-CM^{2},~OM^{2}=OC^{2}-CM^{2},
а так как BM=3OM
, то
BM^{2}=9OM^{2},~\mbox{или}~4b^{2}-c^{2}=9(4a^{2}-c^{2}).
Поэтому 9a^{2}=b^{2}+2c^{2}
. Подставим в это уравнение a=3b-2c
. После упрощения получим:
17c^{2}-54bc+40b^{2}=0.
Отсюда находим, что \frac{c}{b}=2
(что невозможно) или \frac{c}{b}=\frac{20}{17}
. Следовательно,
\frac{AC}{BC}=\frac{c}{b}=\frac{20}{17}.