3101. В ромбе ABCD
, где \angle BAD=60^{\circ}
, перпендикуляр к стороне AD
, восстановленный из середины AD
, пересекает диагональ AC
в точке M
, а перпендикуляр к стороне CD
, восстановленный из середины CD
, пересекает диагональ AC
в точке N
. Найдите отношение площади треугольника MND
к площади ромба ABCD
.
Ответ. \frac{1}{6}
.
Указание. MN=\frac{1}{3}AC
.
Решение. Первый способ. Обозначим через a
сторону ромба. Тогда
CN=AM=\frac{AD}{2\cos30^{\circ}}=\frac{a}{\sqrt{3}},
MN=AC-2AM=a\sqrt{3}-\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}},
\frac{S_{\triangle DMN}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{MN}{AC}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{3}.
Следовательно, \frac{S_{\triangle MND}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{6}
.
Второй способ. Пусть K
— точка пересечения диагоналей ромба. Поскольку треугольники ABD
и BCD
— равносторонние, то M
и N
— точки пересечения их медиан. Поэтому
S_{\triangle DMK}=S_{\triangle DNK}=\frac{1}{6}S_{\triangle ABD}.
Следовательно, S_{\triangle MND}=\frac{1}{6}S_{ABCD}
.