3102. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
точка L
является серединой стороны BC
, точка M
является серединой AD
, точка N
является серединой стороны AB
. Найдите отношение площади треугольника LMN
к площади четырёхугольника ABCD
.
Ответ. \frac{1}{4}
.
Указание. Пусть K
— середина стороны CD
. Тогда NLKM
— параллелограмм, и его площадь равна половине площади данного четырёхугольника (см. задачи 1204 и 3019).
Решение. Пусть K
— середина стороны CD
, \alpha
— угол между диагоналями AC
и BD
четырёхугольника ABCD
. Поскольку NL
и MK
— средние линии треугольников ABC
и ADC
, то NLKM
— параллелограмм с углом \alpha
между соседними сторонами (см. задачу 1204).
Поскольку
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha,~
S_{NLKM}=NL\cdot MN\sin\alpha=\frac{1}{4}AC\cdot BD\sin\alpha,
то
S_{NLKM}=\frac{1}{2}S_{ABCD},~S_{\triangle NLM}=\frac{1}{2}S_{NLKM}.
Следовательно, S_{\triangle LMN}=\frac{1}{4}S_{ABCD}
.