3103. В параллелограмме ABCD
, где \angle BAD
равен 60^{\circ}
, AB=2
, AD=5
, биссектриса угла BAD
пересекается с биссектрисой угла ABC
в точке K
, с биссектрисой угла CDA
— в точке L
, а биссектриса угла BCD
пересекается с биссектрисой угла CDA
в точке M
, с биссектрисой угла ABC
— в точке N
. Найдите отношение площади четырёхугольника KLMN
к площади параллелограмма ABCD
.
Ответ. \frac{9}{20}
.
Указание. KLMN
— прямоугольник.
Решение. Поскольку угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых равен 90^{\circ}
, то KLMN
— прямоугольник.
Пусть P
— точка пересечения прямых AK
и BC
. Тогда
\angle BPA=\angle DAP=\angle BAP.
Поэтому треугольник ABP
— равнобедренный,
BP=AB=2,~PC=BC-BP=3.
Если F
— проекция точки P
на CM
, то
LM=PF=PC\sin\angle PCF=3\sin30^{\circ}=\frac{3}{2}.
Аналогично MN=\frac{3\sqrt{3}}{2}
. Следовательно,
S_{KLMN}=LM\cdot MN=\frac{9\sqrt{3}}{4},
а так как
S_{ABCD}=AB\cdot AD\sin\angle BAD=2\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3},
то
\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}}{5\sqrt{3}}=\frac{9}{20}.