3107. В трапеции ABCD
отрезки AB
и CD
являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке E
. Найдите площадь треугольника BCE
, если AB=30
, DC=24
, AD=3
и \angle DAB=60^{\circ}
.
Ответ. 10\sqrt{3}
.
Указание. Найдите, какую часть площадь треугольника BCE
составляет от площади треугольника DCB
.
Решение. Пусть DK
— высота данной трапеции. Из прямоугольного треугольника AKD
находим, что
DK=AD\sin\angle DAB=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Высота треугольника DCB
, проведённая из вершины B
, также равна \frac{3\sqrt{3}}{2}
. Поэтому его площадь равна \frac{3\sqrt{3}\cdot DC}{4}=18\sqrt{3}
.
Из подобия треугольников AEB
и CED
следует, что
\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{DC}=\frac{30}{24}=\frac{5}{4}.
Поэтому \frac{BE}{BD}=\frac{5}{9}
. Следовательно,
S_{\triangle BCE}=\frac{BE}{BD}\cdot S_{\triangle DCB}=\frac{5}{9}\cdot18\sqrt{3}=10\sqrt{3}.