3109. В треугольнике ABC
на стороне AB
взята точка K
, причём AK:BK=1:2
, а на стороне BC
взята точка L
, причём CL:BL=2:1
. Пусть Q
— точка пересечения прямых AL
и CK
. Найдите площадь треугольника ABC
, если дано, что площадь треугольника BQC
равна 1.
Ответ. \frac{7}{4}
.
Указание. Через вершину C
проведите прямую, параллельную стороне AB
.
Решение. Продолжим AL
до пересечения в точке P
с прямой, проходящей через вершину C
параллельно AB
. Из подобия треугольников PLC
и ALB
следует, что PC=2AB
, а из подобия треугольников PQC
и AQK
находим, что
\frac{CQ}{KQ}=\frac{PC}{AK}=\frac{2AB}{\frac{1}{3}AB}=6.
Следовательно,
S_{\triangle KBC}=\frac{7}{6}S_{\triangle QBC}=\frac{7}{6}.
Поскольку BK=\frac{2}{3}AB
, то
S_{\triangle ABC}=\frac{3}{2}S_{\triangle KBC}=\frac{3}{2}\cdot\frac{7}{6}=\frac{7}{4}.