3112. В треугольнике ABC
на стороне AB
взята точка L
, причём AL=1
, BL=3
, а на стороне BC
взята точка K
, делящая эту сторону в отношении BK:KC=3:2
. Точка Q
пересечения прямых AK
и CL
расположена на расстоянии 1,5 от прямой BC
. Вычислите синус угла ABC
.
Ответ. \frac{11}{16}
.
Указание. Для нахождения отношения \frac{AK}{QK}
продолжите CL
до пересечения с прямой, проходящей через вершину A
параллельно BC
, и рассмотрите две пары образовавшихся подобных треугольников.
Решение. Продолжим CL
до пересечения в точке P
с прямой, проходящей через вершину A
параллельно BC
. Из подобия треугольников PLA
и CLB
следует, что PA=\frac{1}{3}BC
, а из подобия треугольников PQA
и CQK
—
\frac{AQ}{QK}=\frac{AP}{CK}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{2}{5}BC}=\frac{5}{6}.
Пусть M
и N
— проекции точек Q
и A
на BC
. Тогда из подобия треугольников QMK
и ANK
следует, что
AN=\frac{QM\cdot AK}{QK}=\frac{3}{2}\cdot\frac{11}{6}=\frac{11}{4}.
Следовательно,
\sin\angle ABC=\frac{AN}{AB}=\frac{\frac{11}{4}}{4}=\frac{11}{16}.