3132. На стороне AB
треугольника ABC
взята точка E
, а на стороне BC
— точка D
, причём AE=2
, а CD=1
. Прямые AD
и CE
пересекаются в точке O
. Найдите площадь четырёхугольника BDOE
, если AB=BC=8
, а AC=6
.
Ответ. \frac{189\sqrt{55}}{88}
.
Указание. Найдите отношение \frac{AO}{OD}
.
Решение. Обозначим S_{\triangle ABC}=S
. Тогда
S_{\triangle BEC}=\frac{BE}{AB}\cdot S=\frac{3}{4}S.
Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
, и продолжим отрезок CE
до пересечения с этой прямой в точке T
. Из подобия треугольников TAE
и CBE
находим, что
AT=BC\cdot\frac{AE}{BE}=\frac{8}{3}.
Из подобия треугольников TAO
и CDO
—
\frac{AO}{OD}=\frac{AT}{DC}=\frac{8}{3}.
Поэтому
S_{\triangle CDO}=\frac{DO}{AD}\cdot S_{\triangle ADC}=\frac{3}{11}\cdot\frac{1}{8}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{3}{88}S.
Следовательно,
S_{BDOE}=S_{\triangle BEC}-S_{\triangle CDO}=\frac{3}{4}S-\frac{3}{88}S=\frac{63}{88}S.
Высоту BM
равнобедренного треугольника ABC
находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABM
:
BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{64-9}=\sqrt{55}.
Тогда
S=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BM=3\sqrt{55},
Следовательно,
S_{BDOE}=\frac{63}{88}\cdot3\sqrt{55}=\frac{189\sqrt{55}}{88}.