3136. В треугольнике ABC
, площадь которого равна 1, на медиане BK
взята точка M
, причём MK=\frac{1}{4}BK
. Прямая AM
пересекает сторону BC
в точке L
. Найдите площадь треугольника ALC
.
Ответ. \frac{2}{5}
.
Указание. Через точку B
проведите прямую, параллельную AC
, и продолжите отрезок AL
до пересечения с этой прямой. Рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Через точку B
проведём прямую, параллельную AC
, и продолжим отрезок AL
до пересечения с этой прямой в точке T
. Из подобия треугольников BMT
и KMA
следует, что
BT=\frac{AK\cdot BM}{MK}=3AK,
а из подобия треугольников BLT
и CLA
—
\frac{BL}{LC}=\frac{BT}{AC}=\frac{3AK}{2AK}=\frac{3}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ALC}=\frac{LC}{BC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{2}{5}.