3147. Дана трапеция ABCD
, в которой BC=a
, AD=b
. Параллельно основаниям трапеции BC
и AD
проведена прямая, пересекающая сторону AB
в точке P
, диагональ AC
в точке L
, диагональ BD
в точке R
и сторону CD
в точке Q
. Известно, что PL=LR
. Найдите PQ
.
Ответ. \frac{3ab}{2a+b}
или \frac{3ab}{a+2b}
.
Указание. Прямая BL
делит основание AD
пополам.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей данной трапеции. Предположим, что точка L
лежит между точками A
и M
. Обозначим PL=x
. Из подобия треугольников APL
и ABC
следует, что
\frac{AP}{AB}=\frac{PL}{BC}=\frac{x}{a}.
Поэтому
\frac{AP}{PB}=\frac{x}{a-x},~\frac{PB}{AB}=\frac{a-x}{a}.
Пусть K
— точка пересечения прямой BL
с основанием AD
. Тогда
AK=\frac{PL\cdot AB}{BP},~KD=\frac{LR\cdot BD}{BR}.
Поскольку
\frac{AB}{BP}=\frac{BD}{BR},~PL=LR,
то AK=KD=\frac{b}{2}
. Поэтому
\frac{x}{\frac{b}{2}}=\frac{a-x}{a}.
Отсюда находим, что x=\frac{ab}{2a+b}
. Поскольку
\frac{QR}{BC}=\frac{DQ}{DC}=\frac{AP}{AB}=\frac{PL}{BC},
то
RQ=PL=LR=\frac{ab}{2a+b}.
Следовательно, PQ=3x=\frac{3ab}{2a+b}
.
Если точка L
лежит между M
и C
, то аналогично находим, что PQ=\frac{3ab}{a+2b}
.