3148. Продолжения сторон AD
и BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке M
, а продолжения сторон AB
и CD
— в точке O
. Отрезок MO
перпендикулярен биссектрисе угла AOD
. Найдите отношение площадей треугольника AOD
и четырёхугольника ABCD
, если OA=12
, OD=8
, CD=2
.
Ответ. 2 или \frac{14}{11}
.
Указание. Пусть P
— точка пересечения прямой OD
и прямой, проходящей через точку A
параллельно OM
. Тогда треугольник AOP
— равнобедренный.
Решение. Предположим, что точка C
расположена между точками O
и D
. Проведём через точку A
прямую, параллельную MO
. Пусть P
, Q
и T
— точки пересечения этой прямой с прямой OD
, с биссектрисой угла AOD
и с прямой MB
соответственно.
Треугольник POA
— равнобедренный, так как его биссектриса OQ
является высотой. Поэтому OP=OA=12
. Тогда
PD=OP-OD=12-8=4.
Из подобия треугольников MDO
и ADP
следует, что
MO=\frac{AP\cdot OD}{DP}=2AP.
Из подобия треугольников PCT
и OCM
находим:
PT=\frac{MO\cdot PC}{CO}=\frac{MO\cdot(PD+DC)}{CO}=\frac{MO\cdot(4+2)}{6}=MO=2AP.
Следовательно, AT=AP
и MO=2AT
.
Из подобия треугольников MBO
и TBA
следует, что
\frac{OB}{AB}=\frac{MO}{AT}=2.
Если площадь треугольника AOD
равна S
, то (см. задачу 3007)
S_{\triangle BOC}=\frac{OB}{OA}\cdot\frac{OC}{OD}S=\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{8}S=\frac{1}{2}S.
Поэтому
S_{ABCD}=S_{\triangle AOD}-S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}S.
Следовательно, \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{ABCD}}=2
.
Если точка D
расположена между точками O
и C
, то рассуждая аналогично, найдём, что \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{ABCD}}=\frac{14}{11}
.