3161. Через каждую вершину выпуклого четырёхугольника проведены прямые, параллельные диагонали, не проходящей через эту вершину. Докажите, что площадь полученного таким образом параллелограмма вдвое больше площади данного четырёхугольника.
Указание. Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Решение. Первый способ. Пусть a
и b
— диагонали данного четырёхугольника, \alpha
— угол между ними. Тогда площадь четырёхугольника равна \frac{1}{2}ab\sin\alpha
. Стороны построенного параллелограмма параллельны диагоналям данного четырёхугольника. Поэтому они равны a
и b
, а угол между ними равен \alpha
. Следовательно, площадь параллелограмма равна ab\sin\alpha
.
Второй способ. Диагонали данного четырёхугольника разбивают полученный параллелограмм на четыре параллелограмма, каждый из которых разбивается соответствующей стороной данного четырёхугольника на два равных, а значит, равновеликих треугольника. Следовательно, площадь полученного параллелограмма вдвое больше площади данного четырёхугольника.