3167. В треугольнике ABC
проведены высоты AD
и CE
. Найдите отношение площадей треугольников ABC
и AED
, если AB=6
, AC=5
, CB=7
.
Ответ. \frac{49}{5}
.
Указание. С помощью теоремы Пифагора составьте уравнения для AE
и BD
.
Решение. Обозначим AE=x
, BD=y
. Тогда
BE=6-x,~CD=7-y,25-x^{2}=49-(6-x)^{2},~36-y^{2}=25-(7-y)^{2}.
Из этих уравнений находим, что x=1
, y=\frac{30}{7}
.
Пусть DP
— высота треугольника ADE
. Из подобия треугольников BPD
и BEC
следует, что
DP=\frac{EC\cdot BD}{BC}=\frac{30}{49}EC.
Поэтому
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AED}}=\frac{AB\cdot EC}{AE\cdot DP}=\frac{AB\cdot EC}{\frac{30}{49}EC}=6\cdot\frac{49}{30}=\frac{49}{5}.