3178. Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на три части, из которых складывается равнобедренный треугольник
Указание. Проведите серединный перпендикуляр к средней линии треугольника, параллельной наибольшей стороне.
Решение. Пусть AC
— наибольшая сторона треугольника ABC
, A_{1}
и C_{1}
— середины сторон BC
и AB
соответственно, M
— середина средней линии A_{1}C_{1}
, B_{1}
— проекция точки M
на AC
.
Поскольку углы BAC
и BCA
— острые, точка B_{1}
лежит на стороне AC
. Прямая MB_{1}
— серединный перпендикуляр к отрезку A_{1}C_{1}
, поэтому B_{1}C_{1}=B_{1}A_{1}
.
На продолжении отрезка B_{1}A_{1}
за точку A_{1}
отложим отрезок A_{1}Q=B_{1}A_{1}
. Четырёхугольник CQBB_{1}
— параллелограмм, значит, BQ\parallel AC
. При этом B_{1}Q=2B_{1}A_{1}
.
На продолжении отрезка B_{1}C_{1}
за точку C_{1}
отложим отрезок C_{1}P=B_{1}C_{1}
. Четырёхугольник APBB_{1}
— параллелограмм, значит, BP\parallel AC
. При этом B_{1}P=2B_{1}C_{1}=2B_{1}A_{1}
. Следовательно, точка B
лежит на отрезке PQ
, а треугольник PB_{1}Q
равнобедренный. Его можно сложить из треугольников, полученных разрезанием треугольника ABC
на три части по отрезкам B_{1}C_{1}
и B_{1}A_{1}
.
