3213. На сторонах AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
выбираются произвольные точки E
и F
соответственно. Докажите, что середины отрезков AF
, BF
, CE
и DE
являются вершинами выпуклого четырёхугольника, причём его площадь не зависит от выбора точек E
и F
.
Указание. Докажите, что диагонали образовавшегося четырёхугольника пересекаются в их внутренней точке.
Решение. Пусть L
, M
, N
, K
— середины отрезков BF
, CE
, AF
и DE
соответственно. Поскольку LN
— средняя линия треугольника AFB
, то отрезок LN
пересекает отрезок EF
в его середине O
. Аналогично KM
пересекает отрезок EF
в той же точке O
. Поэтому отрезки LN
и KM
пересекаются в их внутренней точке O
. Следовательно, LMNK
— выпуклый четырёхугольник (возможно, вырождающийся в треугольник или отрезок).
Пусть угол между прямыми AB
и CD
равен \alpha
. Тогда
S_{LMNK}=\frac{1}{2}LN\cdot MK\sin\alpha=\frac{1}{8}AB\cdot CD\sin\alpha,
т. е. площадь четырёхугольника LMNK
не зависит от выбора точек E
и F
.