3216. Противоположные стороны шестиугольника ABCDEF
попарно параллельны. Докажите, что треугольники ACE
и BDF
равновелики.
Указание. Достройте данный шестиугольник до треугольника, продолжив его стороны, и выразите площади треугольников ACE
и BDF
через площадь полученного треугольника и отношения, в которых вершины шестиугольника делят стороны полученного треугольника.
Решение. Пусть прямые AB
и EF
пересекаются в точке M
, прямые AB
и CD
— в точке N
, прямые CD
и EF
— в точке K
. Обозначим
\frac{MA}{MN}=x,~\frac{NC}{NK}=y,~\frac{KE}{KM}=z.
Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle AME}=x(1-z)S_{\triangle MNK},~S_{\triangle ANC}=y(1-x)S_{\triangle MNK},~S_{\triangle CKE}=z(1-y)S_{\triangle MNK}.
Поэтому
S_{\triangle ACE}=S_{\triangle MNK}-S_{\triangle AME}-S_{\triangle ANC}-S_{\triangle CKE}=
=(1-x(1-z)-y(1-x)-z(1-y))S_{\triangle MNK}=
=(1-x-y-z+xy+xz+yz)S_{\triangle MNK}.
Учитывая, что
\frac{MF}{MK}=\frac{MA}{MN}=x,~\frac{NB}{NM}=\frac{NC}{NK}=y,~\frac{KD}{KN}=\frac{KE}{KM}=z
(что вытекает из параллельности противоположных сторон данного шестиугольника), аналогично получим, что
S_{\triangle BDF}=(1-x-y-z+xy+xz+yz)S_{\triangle MNK}.