3228. Пусть l_{a}
— биссектриса треугольника, проведённая из вершины, противолежащей стороне, равной a
, p
— полупериметр треугольника. Докажите, что l_{a}\leqslant\sqrt{p(p-a)}
.
Решение. Пусть b
и c
— длины двух других сторон треугольника. Тогда l_{a}=\frac{2\sqrt{p(p-a)bc}}{b+c}
(см. задачу 4751), а так как 4bc\leqslant(b+c)^{2}
, то \frac{\sqrt{bc}}{b+c}\leqslant\frac{1}{2}
. Следовательно,
l_{a}=\frac{2\sqrt{p(p-a)bc}}{b+c}=2\sqrt{p(p-a)}\cdot\frac{\sqrt{bc}}{b+c}\leqslant2\sqrt{p(p-a)}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{p(p-a)}.
Что и требовалось доказать.