3231. Медианы AA_{1}
и BB_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке M
. Докажите, что если четырёхугольник A_{1}MB_{1}C
описанный, то AC=BC
.
Указание. К большей стороне треугольника проведена меньшая медиана.
Решение. Предположим, что BC\gt AC
. Тогда AA_{1}\lt BB_{1}
, так как к большей стороне треугольника проведена меньшая медиана (см. задачу 3537). С другой стороны, по свойству описанного многоугольника
CA_{1}+MB_{1}=CB_{1}+MA_{1},~\mbox{или}~\frac{1}{2}BC+\frac{1}{3}BB_{1}=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{3}AA_{1}.
В то же время,
\frac{1}{2}BC+\frac{1}{3}BB_{1}\gt\frac{1}{2}AC+\frac{1}{3}AA_{1},
так как BC\gt AC
и BB_{1}\gt AA_{1}
. Получено противоречие. Следовательно, AC=AB
. Что и требовалось доказать.