3245. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника, r_{a}
— радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной a
. Докажите, что rr_{a}\leqslant\frac{a^{2}}{4}
.
Указание. Докажите равенства
r\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right)=a=r_{a}\left(\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right).
Решение. Из равенств r\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right)=a=r_{a}\left(\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right)
(см. задачу 3241) следует, что
rr_{a}=\frac{a}{\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}}\cdot\frac{a}{\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}}=\frac{a^{2}}{\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right)\left(\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right)}=
=\frac{a^{2}}{1+\ctg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\beta}{2}+1}=\frac{a^{2}}{2+\ctg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\frac{1}{\ctg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}}}\leqslant\frac{a^{2}}{2+2}=\frac{a^{2}}{4}.
Что и требовалось доказать.