3248. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— величины углов треугольника, противолежащих сторонам, равным a
, b
и c
соответственно, S
— площадь треугольника. Докажите, что:
\mbox{а)}~\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S};~\mbox{б)}~a^{2}\ctg\alpha+b^{2}\ctg\beta+c^{2}\ctg\gamma=4S.
Решение. а) Из равенства
S=\frac{1}{2}bc\sin\alpha=\frac{1}{2}bc\cdot\frac{\cos\alpha}{\ctg\alpha}
следует, что bc\cos\alpha=2S\ctg\alpha
. Аналогично
ac\cos\beta=2S\ctg\beta,~ab\cos\gamma=2S\ctg\gamma.
По теореме косинусов
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=b^{2}+c^{2}-4S\ctg\alpha,
b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta=a^{2}+c^{2}-4S\ctg\beta,
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma=a^{2}+b^{2}-4S\ctg\gamma.
Сложив почленно эти три равенства, получим, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-4S(\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma),
откуда
\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть треугольник ABC
остроугольный, BC=a
, AC=b
, AB=c
, а O
— центр его описанной окружности. По теореме синусов a=2R\sin\alpha
, а так как S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}R^{2}\sin2\alpha
, то
a^{2}\ctg\alpha=4R^{2}\sin^{2}\alpha\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=2R^{2}\sin2\alpha=4S_{\triangle BOC}.
Аналогично b^{2}\ctg\beta=4S_{\triangle AOC}
и c^{2}\ctg\gamma=4S_{\triangle AOB}
. Следовательно,
a^{2}\ctg\alpha+b^{2}\ctg\beta+c^{2}\ctg\gamma=4S_{\triangle BOC}+4S_{\triangle AOC}+4S_{\triangle AOB}=
=4(S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB})=4S.
Для треугольника с тупым углом при вершине A
величину S_{\triangle BOC}
нужно взять со знаком минус.