3249. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— величины углов треугольника, противолежащих сторонам, равным a
, b
и c
соответственно, p
— полупериметр треугольника, r
— радиус вписанной окружности, r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных a
, b
и c
соответственно. Докажите, что:
\mbox{а)}~\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{p}{r};~\mbox{б)}~\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{r_{a}}+\frac{b}{r_{b}}+\frac{c}{r_{c}}\right).
Указание. Докажите равенства
a=r\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right);~a=r_{a}\left(\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right).
Решение. а) Сложив почленно равенства
a=r\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right),~b=r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right),~c=r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}\right)
(см. задачу 3241), получим, что
a+b+c=r\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right)+r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right)+\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}\right)=
=r\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}+\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}+\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}\right)=
=2r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right).
Следовательно,
\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{a+b+c}{2r}=\frac{p}{r}.
Что и требовалось доказать.
См. также решение задачи 11289.
б) Сложив почленно равенства
\frac{a}{r_{a}}=\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2},~\frac{b}{r_{b}}=\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\gamma}{2},~\frac{c}{r_{c}}=\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}
(см. задачу 3241), получим, что
\frac{a}{r_{a}}+\frac{b}{r_{b}}+\frac{c}{r_{c}}=\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}=
=2\left(\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right).
Следовательно,
\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{r_{a}}+\frac{b}{r_{b}}+\frac{c}{r_{c}}\right).