3250. Докажите, что если некоторое симметричное неравенство справедливо для синусов (косинусов, тангенсов, котангенсов) углов любого треугольника, то справедливо и аналогичное неравенство, в котором \sin x
заменён на \cos\frac{x}{2}
(\cos x
— на \sin\frac{x}{2}
, \tg x
— на \ctg\frac{x}{2}
, \ctg x
— на \tg\frac{x}{2}
).
Решение. Если \alpha
, \beta
и \gamma
— углы некоторого треугольника, то существует треугольник с углами \frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}
, \frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}
и \frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}
, так как эти числа положительны и их сумма равна \pi
.
Примечание. Обратный переход от неравенств с половинными углами к неравенствам с целыми углами возможен лишь для остроугольных треугольников. Действительно, пусть для остроугольного треугольника с углами \alpha
, \beta
и \gamma
справедливо некоторое симметричное неравенство, например, для синусов половинных углов, а для косинусов углов \alpha
, \beta
и \gamma
справедливо соответствующее ему обратное неравенство. Тогда, по доказанному, для половинных углов верно неравенство с тем же знаком.
Если же один из углов треугольника, например \alpha
, больше \frac{\pi}{2}
, то \cos\alpha\lt0
, и неравенство может не выполняться.