3272. Треугольник ABC
равнобедренный (AB=BC)
. Точка M
— середина стороны AB
, точка P
— середина отрезка CM
, точка N
делит сторону BC
в отношении 3:1
(считая от вершины B
). Докажите, что AP=MN
.
Указание. Пусть M'
и N'
— точки, симметричные соответственно M
и N
относительно биссектрисы угла ABC
. Тогда APM'N'
— параллелограмм.
Решение. Пусть M'
— середина стороны BC
, точка N'
делит сторону AB
в отношении 3:1
, считая от вершины B
. Треугольники BMN
и BM'N'
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому MN=M'N'
.
Отрезок PM'
— средняя линия треугольника CBM
, поэтому PM'\parallel MN'
и PM'=\frac{1}{2}BM=MN'
. Противоположные стороны PM'
и MN'
четырёхугольника APM'N'
равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Следовательно, AP=M'N'=MN
. Что и требовалось доказать.