3273. В треугольнике ABC
, где угол B
прямой, а угол A
меньше угла C
, проведена медиана BM
. На стороне AC
взята точка L
так, что \angle ABM=\angle MBL
. Описанная окружность треугольника BML
пересекает сторону AB
в точке N
. Докажите, что AN=BL
.
Указание. Треугольники AMN
и BML
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Решение. Первый способ. Отрезок BM
— медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому BM=CM=AM
(см. задачу 1109). Значит, треугольник AMB
равнобедренный, \angle ABM=\angle BAM
и AM=BM
. По условию задачи \angle ABM=\angle MBL
, значит, \angle MAN=\angle MBL
.
Четырёхугольник BLMN
вписанный, поэтому
\angle MLB=180^{\circ}-\angle MNB=\angle MNA.
Значит, треугольники AMN
и BML
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AN=BL
как соответствующие стороны этих треугольников.
Второй способ. Отрезок BM
— медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому BM=CM=AM
. Значит, треугольник AMB
равнобедренный, \angle ABM=\angle BAM
и AM=BM
.
Во вписанном четырёхугольнике BLMN
углы NBM
и NLM
опираются на одну и ту же дугу, значит, \angle NLA=\angle NLM=\angle NBM=\angle ABM
. Значит, треугольник ANL
равнобедренный, и AN=LN
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BNL=\angle NLA+\angle NAL=2\angle NAL=2\angle ABM=\angle NBL,
поэтому треугольник NLB
равнобедренный. Следовательно, BL=NL=AN
.