3322. Точка H
— основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14, опущенной на сторону, равную 12. Через точку H
, проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M
. Найдите HM
.
Ответ. \frac{7}{3}
или \frac{14}{5}
.
Решение. Пусть CH
— высота треугольника ABC
со сторонами AB=12
, AC=10
, BC=14
. По теореме косинусов
\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{144+100-196}{2\cdot12\cdot10}=\frac{1}{5}.
Из прямоугольного треугольника AHC
находим, что
AH=AC\cos\angle BAC=10\cdot\frac{1}{5}=2.
Заметим, что существует ровно два случая расположения точки M
на стороне AC
: либо \angle AHM=\angle ABC
(рис. 1), либо \angle AHM=\angle ACB
(рис. 2).
В первом из этих случаев HM\parallel BC
, треугольник AHM
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AH}{AB}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}
, следовательно,
HM=BC\cdot\frac{1}{6}=14\cdot\frac{1}{6}=\frac{7}{3}.
Пусть теперь \angle AHM=\angle ACB
. Тогда треугольник AMH
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия равен
\frac{AH}{AC}=\cos\angle BAC=\frac{1}{5}.
следовательно,
HM=BC\cdot\frac{1}{5}=14\cdot\frac{1}{5}=\frac{14}{5}.
