3361. Угол A
треугольника ABC
в два раза больше угла B
. Докажите, что BC^{2}=(AC+AB)AC
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда \angle BAC=2\beta
. Пусть AK
— биссектриса угла BAC
. Тогда \angle CAK=\angle BAK=\beta
, поэтому AK=BK
, а треугольник ACK
подобен треугольнику BCA
по двум углам (угол при вершине C
— общий). Значит,
\frac{AC}{BC}=\frac{AK}{AB}=\frac{BK}{AB},~BK=\frac{AB\cdot AC}{BC}.
Кроме того, по свойству биссектрисы треугольника
\frac{AC}{AB}=\frac{CK}{KB}=\frac{BC-BK}{BK}=\frac{BC-\frac{AB\cdot AC}{BC}}{\frac{AB\cdot AC}{BC}}=\frac{BC^{2}-AB\cdot AC}{AB\cdot AC}.
Отсюда получаем, что BC^{2}=(AC+AB)AC
.