3365. На сторонах AB
, AC
, BC
равностороннего треугольника ABC
, сторона которого равна 2, выбрали точки C_{1}
, B_{1}
, A_{1}
соответственно. Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AB_{1}C_{1}
, A_{1}BC_{1}
, A_{1}B_{1}C
?
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть окружность радиуса r_{a}
, вписанная в треугольник AB_{1}C_{1}
, касается отрезков AB
и AC
в точках M
и P
соответственно, а отрезка B_{1}C_{1}
— в точке A_{2}
. Аналогично определим r_{b}
, r_{c}
и точки N
, K
, L
, Q
, B_{2}
и C_{2}
(см. рисунок).
Тогда
AM=AP=r_{a}\sqrt{3},~BN=BK=r_{b}\sqrt{3},~CL=CQ=r_{c}\sqrt{3}.
Сумма r_{a}+r_{b}+r_{c}
максимальна, если максимальна сумма
2\sqrt{3}(r_{a}+r_{b}+r_{c})=AM+AP+BN+BK+CL+CQ=(AB+BC+AC)-(MN+KL+PQ),
а значит, минимальна сумма
MN+KL+PQ=(C_{1}M+C_{1}N)+(A_{1}K+A_{1}L)+(B_{1}Q+B_{1}P)=
=(C_{1}A_{2}+C_{1}B_{2})+(A_{1}B_{2}+A_{1}C_{2})+(B_{1}C_{2}+B_{1}A_{2})=A_{1}B_{1}+B_{1}C_{1}+A_{1}C_{1},
т. е. когда минимален периметр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Известно (задача Фаньяно, см. задачу 5010), что из всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет ортотреугольник (треугольник, с вершинами в основаниях высот данного треугольника). Поскольку в нашей задаче треугольник ABC
равносторонний, его высоты являются медианами, значит, в нашем случае минимальный периметр имеет треугольник с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC
. Этот минимальный периметр равен сумме средних линий треугольника ABC
, т. е. 3. Следовательно,
\max(r_{a}+r_{b}+r_{c})=\frac{(AB+BC+AC)-3}{2\sqrt{3}}=\frac{6-3}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.