3369. Угол A
при вершине равнобедренного треугольника ABC
равен 100^{\circ}
. На луче AB
отложен отрезок AM
, равный основанию BC
. Найдите угол BCM
.
Ответ. 10^{\circ}
.
Решение. На луче BM
отложим отрезок BN
, равный AM
. Обозначим AC=AB=a
, BN=AM=BC=b
. Углы при основании CN
равнобедренного треугольника CBN
равны по 20^{\circ}
. Тогда
BM=AM-AB=b-a,~MN=BN-BM=b-(b-a)=a,~CN=2BC\cos20^{\circ}=2b\cos20^{\circ},
\frac{BM}{MN}=\frac{b-a}{a}=\frac{b}{a}-1=\frac{\sin100^{\circ}}{\sin40^{\circ}}-1,~\frac{CB}{CN}=\frac{b}{2b\cos20^{\circ}}=\frac{1}{2\cos20^{\circ}}.
Докажем, что \frac{BM}{MN}=\frac{CB}{CN}
. Отсюда будет следовать, что CM
— биссектриса треугольника BCN
, а тогда
\angle BCM=\frac{1}{2}\angle BCN=\frac{1}{2}\cdot20^{\circ}=10^{\circ}.
Действительно,
\frac{BM}{MN}=\frac{CB}{CN}~\Leftrightarrow~\frac{\sin100^{\circ}}{\sin40^{\circ}}-1=\frac{1}{2\cos20^{\circ}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow\frac{\sin100^{\circ}-\sin40^{\circ}}{\sin40^{\circ}}=\frac{1}{2\cos20^{\circ}}~\Leftrightarrow~\frac{2\sin30^{\circ}\cos70^{\circ}}{2\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}}=\frac{1}{2\cos20^{\circ}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{\cos70^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=1~\Leftrightarrow~\frac{\sin20^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=1.
Что и требовалось доказать.