3401. На гипотенузе BC
прямоугольного треугольника ABC
отмечены такие точки D
и E
, что AD\perp BC
и AD=DE
. На стороне AC
отмечена такая точка F
, что EF\perp BC
. Найдите угол ABF
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Из точек A
и E
отрезок BF
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BF
. Вписанные в эту окружность углы ABF
и AEF
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ABF=\angle AEF
.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике ADE
углы при основании равны по 45^{\circ}
, поэтому
\angle ABF=\angle AEF=90^{\circ}-\angle AED=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Второй способ. Прямые AD
и FE
параллельны, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках \frac{AF}{FC}=\frac{ED}{CE}
. Следовательно,
AF=FC\cdot\frac{ED}{CE}=FC\cdot\frac{AD}{CE}.
Прямоугольные треугольники BAD
и FCE
подобны по двум углам (\angle EFC=90^{\circ}-\angle BCA=\angle ABC
), поэтому \frac{AD}{CE}=\frac{BA}{FC}
. Следовательно,
AF=FC\cdot\frac{AD}{CE}=AF=FC\cdot\frac{BA}{FC}=BA.
Треугольник ABF
— прямоугольный и равнобедренный, следовательно, \angle ABF=45^{\circ}
.