3426. В треугольнике ABC
известно, что AB=13
, BC=14
, AC=15
. Точка M
расположена на стороне BC
, причём BM:MC=2:5
. Найдите AM
.
Ответ. \sqrt{145}
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
. По теореме косинусов из треугольника ABC
находим, что
\cos\alpha=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{169+196-225}{2\cdot13\cdot14}=\frac{5}{13},
а так как
BM=\frac{2}{7}BC=\frac{2}{7}\cdot14=4,
то из треугольника ABM
находим, что
AM^{2}=AB^{2}+BM^{2}-2AB\cdot BM\cos\alpha=
=13^{2}+4^{2}-2\cdot13\cdot4\cdot\frac{5}{13}=169+16-40=145.
Следовательно, AM=\sqrt{145}
.