3476. В окружность вписан четырёхугольник с тремя равными сторонами.
а) Докажите, что в этом четырёхугольнике есть параллельные стороны.
б) Найдите диагонали четырёхугольника, если известно, что радиус окружности равен 25, а каждая из трёх равных сторон четырёхугольника равна 30.
Ответ. 48.
Решение. а) Пусть четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, причём AB=BC=CD
(рис. 1). Вписанные углы ACB
и CAD
опираются на равные хорды, поэтому \angle ACB=\angle CAD
. Следовательно, BC\parallel AD
.
б) Обозначим \angle BAC=\alpha
(рис. 2). По теореме синусов \sin\alpha=\frac{CD}{2\cdot25}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}
, а так как \alpha\lt90^{\circ}
(как половина угла BAD
треугольника BAD
), то \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\frac{4}{5}
.
Пусть BH
— высота равнобедренного треугольника ABC
. Тогда
AC=2AH=2\cdot AB\cos\alpha=2\cdot30\cdot\frac{4}{5}=48.
Аналогично BD=48
.
