3494. Дана трапеция с основаниями AD
и BC
. Окружности, построенные на боковых сторонах AB
и CD
как на диаметрах, пересекаются в точках M
и N
.
а) Докажите, что MN\perp AD
.
б) Найдите MN
, если известно, что боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а сумма проекций диагоналей на большее основание равна 20.
Ответ. 9,6.
Указание. Докажите, что сумма оснований данной трапеции равна сумме проекций её диагоналей на большее основание.
Решение. а) Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей с диаметрами AB
и CD
(рис. 1). Тогда O_{1}O_{2}
— средняя линия трапеции, поэтому O_{1}O_{2}\parallel AD
. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, поэтому MN\perp O_{1}O_{2}
. Следовательно, MN\perp AD
.
б) Пусть P
и Q
— проекции вершин C
и B
на большее основание AD
трапеции (рис. 2). Тогда
AP+DQ=20,~PQ=BC,~AD=AP+DQ-PQ=AP+DQ-BC,
поэтому AD+BC=AP+DQ=20
. Значит, O_{1}O_{2}=\frac{AD+BC}{2}=10
.
Пусть AB=12
и CD=16
. В треугольнике O_{1}MO_{2}
известно, что
O_{1}O_{2}=10,~O_{1}M=\frac{1}{2}AB=6,~O_{2}M=\frac{1}{2}CD=8.
Этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине M
. Общая хорда пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров и делится ею пополам, поэтому отрезок MN
вдвое больше высоты MH
прямоугольного треугольника O_{1}MO_{2}
, проведённой из вершины прямого угла. Следовательно,
MN=2MH=2\cdot\frac{O_{1}M\cdot O_{2}M}{O_{1}O_{2}}=2\cdot\frac{6\cdot8}{10}=9{,}6.
