3497. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, делится диагональю пополам. Докажите, что эта диагональ разбивает четырёхугольник на равновеликие треугольники.
Решение. Первый способ. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, а диагональ BD
проходит через середину O
отрезка MN
. Достаточно доказать, что равны высоты AP
и CQ
треугольников ABD
и BCD
с общим основанием BD
.
Проведём высоты MK
и NL
треугольников BOM
и DON
. Прямоугольные треугольники OKM
и OLN
равны по гипотенузе и острому углу, значит, MK=NL
, а так как MK
и NL
— средние линии прямоугольных треугольников APB
и CQD
, то AP=CQ
. Отсюда следует решение задачи.
Второй способ. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, а диагональ BD
проходит через середину O
отрезка MN
. Обозначим
S_{\triangle DON}=S_{\triangle DOM}=S_{1},~S_{\triangle BON}=S_{\triangle BOM}=S_{2}.
Тогда
S_{\triangle DMA}=S_{\triangle DMB}=S_{1}+S_{2},~S_{\triangle BNC}=S_{\triangle BND}=S_{1}+S_{2},
S_{\triangle ABD}=2S_{\triangle DMB}=2(S_{1}+S_{2}),~S_{\triangle CBD}=2S_{\triangle BND}=2(S_{1}+S_{2}).
Следовательно, S_{\triangle ABD}=S_{\triangle CBD}
.