3498. Теорема Лейбница. Сумма квадратов расстояний до произвольной точки плоскости от вершин треугольника равна сумме квадратов расстояний от вершин до точки пересечения медиан треугольника, сложенной с утроенным квадратом расстояния между данной точкой и точкой пересечения медиан, т. е., если M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, а X
— произвольная точка плоскости, то
XA^{2}+XB^{2}+XC^{2}=MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+3XM^{2}.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
; m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
— медианы треугольника ABC
, проведённые из вершин A
, B
и C
соответственно. Тогда
m_{a}=\frac{3}{2}MA,~m_{b}=\frac{3}{2}MB,~m_{c}=\frac{3}{2}MC.
Из формул
XM^{2}=\frac{1}{3}(XA^{2}+XB^{2}+XC^{2})-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),
a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{4}{3}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})
(см. задачи 7259 и 4047) следует, что
XM^{2}=\frac{1}{3}(XA^{2}+XB^{2}+XC^{2})-\frac{1}{9}\cdot\frac{4}{3}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})=
=\frac{1}{3}(XA^{2}+XB^{2}+XC^{2})-\frac{1}{9}\cdot\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{9}{4}MA^{2}+\frac{9}{4}MB^{2}+\frac{9}{4}MC^{2}\right)=
=\frac{1}{3}(XA^{2}+XB^{2}+XC^{2})-\frac{1}{3}(MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}).
Следовательно,
XA^{2}+XB^{2}+XC^{2}=MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+3XM^{2}.
Примечание. Теорема верна для произвольной точки X
пространства.
Из теоремы Лейбница следует, что сумма XA^{2}+XB^{2}+XC^{2}
минимальна в случае, когда точка X
совпадает с M
.