3503. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
Указание. Если M
— точка, лежащая внутри треугольника ABC
, то что MB+MC\lt AB+AC
.
Решение. Пусть M
— точка, лежащая внутри треугольника ABC
. Докажем, что
MB+MC\lt AB+AC.
Для этого продолжим BM
до пересечения со стороной AC
в точке N
и применим неравенство треугольника к треугольникам ABN
и MNC
(см. задачу 3502).
Аналогично докажем, что
MB+MA\lt AC+BC~\mbox{и}~MA+MC\lt AB+BC.
Сложив почленно три неравенства, получим, что
2(MA+MB+MC)\lt2(AB+BC+AC).
Отсюда следует нужное неравенство.