3506. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.
Указание. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
. Примените неравенство треугольника сначала к треугольникам ABC
, ADC
, BAD
и BCD
, а затем — к треугольникам AMC
, BMC
, AMD
, AMB
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
. Применив неравенство треугольника к треугольникам ABC
, ADC
, BAD
и BCD
, получим, что
AC\lt AB+BC,~AC\lt DA+DC,~BD\lt AB+AD,~BD\lt CB+CD.
Сложив эти неравенства, получим:
2AC+2BD\lt2AB+2BC+2CD+2AD.
Следовательно,
AC+BD\lt AB+BC+CD+AD.
Применив неравенство треугольника к треугольникам AMB
, BMC
, CMD
и AMD
, получим, что
AM+MB\gt AB,~BM+MC\gt BC,~MC+MD\gt CD,~MA+MD\gt AD.
Сложив эти неравенства, получим:
2AC+2BD\gt AB+BC+CD+AD.
Следовательно,
AC+BD\gt\frac{AB+BC+CD+AD}{2}.
Примечание. Утверждение верно и для невыпуклого четырёхугольника.