3510. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин больше половины периметра.
Указание. Примените неравенство треугольника.
Решение. Пусть d_{1}
, d_{2}
, d_{3}
— расстояния от точки M
, взятой внутри треугольника со сторонами a
, b
, c
, до вершин этого треугольника. Тогда
d_{1}+d_{2}\gt c,~d_{1}+d_{3}\gt b,~d_{2}+d_{3}\gt a.
Сложив почленно эти три неравенства, получим, что
2(d_{1}+d_{2}+d_{3})\gt a+b+c.
Отсюда следует, что
d_{1}+d_{2}+d_{3}\gt\frac{a+b+c}{2}.