3514. Докажите,что площадь любого четырёхугольника ABCD
не превосходит \frac{1}{2}(AB\cdot BC+AD\cdot DC)
.
Указание. Если данный четырёхугольник не выпуклый, достройте его до выпуклого.
Решение. Если четырёхугольник выпуклый, то диагональ AC
разбивает его на два треугольника — ABC
и ADC
. Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC+\frac{1}{2}AD\cdot DC\sin\angle ADC\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}AD\cdot DC=\frac{1}{2}(AB\cdot BC+AD\cdot DC).
Пусть четырёхугольник не выпуклый. Предположим, что точки B
и D
лежат по одну сторону от прямой AC
, и расстояние от точки B
до прямой AC
меньше, чем от точки D
. Пусть B_{1}
— точка, симметричная точке B
относительно прямой AC
. Тогда
S_{ABCD}\lt S_{AB_{1}CD}\leqslant\frac{1}{2}(AB_{1}\cdot B_{1}C+AD\cdot DC)=\frac{1}{2}(AB\cdot BC+AD\cdot DC).