3516. Пусть ABCD
— выпуклый четырёхугольник. Докажите, что AB+CD\lt AC+BD
.
Указание. Пусть M
— точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Рассмотрите треугольники AMB
и CMD
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Тогда
AB\lt AM+BM,~CD\lt CM+DM.
Сложив эти неравенства, получим, что
AB+CD\lt AM+BM+CM+DM=
=(AM+CM)+(BM+DM)=AC+BD.