3531. Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.
Указание. Произведение основания на высоту для данного треугольника постоянно.
Решение. Пусть a
, b
, c
— стороны треугольника; к стороне a
проведена высота, равная 12, к стороне b
— высота, равная 20, к стороне c
— высота h
. Тогда
\frac{a}{b}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}.
Положим a=5x
, b=3x
. Поскольку 5x\cdot12=ch
, то h=\frac{60x}{c}
. Поскольку a
, b
, c
— стороны треугольника, то
c\gt a-b=2x.
Следовательно
h=\frac{60x}{c}\lt\frac{60x}{2x}=30.