3546. Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике ABCD
имеет место неравенство AB\geqslant AC
, то BD\gt DC
.
Указание. Докажите, что AC+BD\gt AB+DC
.
Решение. Первый способ. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
данного четырёхугольника. Применим неравенство треугольника к треугольникам AMB
и DMC
:
AM+BM\gt AB,~DM+MC\gt DC.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
AC+BD\gt AB+DC.
Если AB\geqslant AC
, то BD\gt DC
.
Второй способ. Рассмотрим треугольник ABC
. В нём AB\geqslant AC
, поэтому \angle ACB\geqslant\angle ABC
. Поскольку луч CA
проходит между сторонами угла BCD
, то
\angle DCB=\angle DCA+\angle ACB\gt\angle ACB\geqslant\angle ABC=\angle DBC+\angle ABD\gt\angle DBC,
т. е. в треугольнике DBC
\angle DCB\gt\angle DBC
. Следовательно, BD\gt DC
.