3561. Внутри квадрата со стороной 1 расположено n
точек. Докажите, что площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках или в вершинах квадрата не превосходит \frac{1}{2(n+1)}
.
Указание. Соедините первую точку с вершинами квадрата. Получится 4 треугольника. Если вторая точка лежит внутри одного из них, то соедините её с вершинами этого треугольника если на общей стороне двух из них, — то соедините её с вершинами этих треугольников.
Решение. Пусть P_{1}
, P_{2}
, \ldots
, P_{n}
— данные точки. Соединим точку P_{1}
с вершинами квадрата. При этом получится 4 треугольника. Затем для k=2,3,\ldots,n
проделаем следующую операцию.
Если точка P_{k}
лежит строго внутри одного из полученных ранее треугольников, то соединим её с вершинами этого треугольника.
Если P_{k}
лежит на общей стороне двух треугольников, то соединим её с вершинами этих треугольников, противолежащими общей стороне.
После каждой такой операции в обоих случаях число треугольников увеличивается на 2. В результате получится 2(n+1)
треугольников. Сумма их площадей равна 1. Поэтому площадь одного из них не превосходит \frac{1}{2(n+1)}
.