3563. Пусть m_{a}
и m_{b}
— медианы, проведённые к сторонам a
и b
треугольника со сторонами a
, b
, c
. Докажите, что m^{2}_{a}+m^{2}_{b}\gt\frac{9}{8}c^{2}
.
Указание. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон.
Решение. Первый способ. Пусть M
— точка пересечения медиан AA_{1}
и BB_{1}
треугольника ABC
, C_{1}
— середина AB
,
BC=a,~AC=b,~AB=c,~AA_{1}=m_{a},~BB_{1}=m_{b}.
Достроим треугольник AMB
до параллелограмма, удвоив медиану MC_{1}
. Тогда (см. задачу 4011)
2AM^{2}+2BM^{2}=AB^{2}+4MC^{2}_{1}\gt AB^{2},
или
2\cdot\frac{4}{9}m^{2}_{a}+2\cdot\frac{4}{9}4m^{2}_{b}\gt c^{2}.
Отсюда следует, что
m^{2}_{a}+m^{2}_{b}\gt\frac{9}{8}c^{2}.
Второй способ. Поскольку \frac{2}{3}m_{a}+\frac{2}{3}m_{b}\gt c
, то
\frac{4}{9}(m^{2}_{a}+2m_{a}m_{b}+m^{2}_{b})\gt c^{2},
а так как 2m_{a}m_{b}\leqslant m^{2}_{a}+m^{2}_{b}
, то
\frac{4}{9}(2m^{2}_{a}+2m^{2}_{b})\gt c^{2}.
Отсюда следует, что
m^{2}_{a}+m^{2}_{b}\gt\frac{9}{8}c^{2}.